1 引言
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日本是世界经济强国,该国一直很重视对国民的教学.日本的中学教学,包括数学教学,当前已引起世界上许多国家的注意.国际教学成就评价协会(简称IEA)所进行的国际数学调查表明,日本中学生的数学素养居于世界前列.取得这些成就的原因是多方面的,但其数学课程的高质量是不可忽略的一个重要因素.日本在1998年的课程改革中强调在全球化的时代首先要培养学生的人性、社会性和国际意识,然后是自主学习并通过宽松的学习活动打下坚实的基础.在最新的2017年的新《学习指导要领》也强调基础知识与“生存能力”培养的平衡.
初中数学内容中,三角形作为平面几何的主要组成部分一直占据着重要的位置.作为经典内容的三角形,一直以来都是世界各国初中数学教育的重要内容.三角形反映了现实生活中的基本图形世界,是认识和描述生活空间的重要工具和认识空间图形、刻画空间位置联系的基本工具,也是学生初步建立空间观念,发展形象思维和几何直觉的必要内容.
本文选取我国浙江教学出版社出版的《义务教学课程标准实验教科书•数学》(以下简称《数学》)和日本泽田利夫主编、教学出版株式会社出版的《中学数学》(以下简称《中学数学》),针对三角形内容进行比较,希望能给我国初中教科书中的三角形内容的设计和编写提供一些启示.
2 内容结构比较
2.1 教科书编排方式的比较
中日两种教科书中“三角形”内容的设置情况见表1.
由表1可以明显看出,“三角形”内容设置在《数学》的两册教科书中,采取“分步到位、螺旋上升”的编排方式,是学生思维发展的阶段性与理解水平的阶段性的综合反映;但在《中学数学》中,“三角形”内容除勾股定理外都出现在第二册,主要采取“直线型”的编排方式,它内容简洁条理清晰,结构的逻辑性较强,但较少考虑学生的认知心理.
2.2 内容广度和深度的比较
中日两种教科书所包含内容在广度上有着明显不同.由表1,《数学》中“三角形”内容共有2章13小节,从三角形的初步认识再逐步深入探讨特殊三角形的性质.《中学数学》中“三角形”只占了第5章中的5小节(勾股定理在第三册),前4小节与《数学》八年级上册中的6小节的内容基本相同,只编排了特殊三角形的相关内容,省略了一般三角形的一些基本知识.因此,《中学数学》中“三角形”内容的课时远远少于《数学》.另外,《数学》还设置了“1.6做三角形”,它突出了“尺规作图”的重要性,培养了学生的动手操作能力和积极探究精神.而《中学数学》多了“1.5三角形与圆”这节内容.
另外,中日两种教科书包含内容在深度上也有着明显不同.比如,在《数学》中提出了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要性质,但是《中学数学》未提到.
2.3 相关知识点的比较
通过对具体内容的比较,我们发现两种教科书在定义、定理设置的数量上有着明显异同,见
《数学》中定义共18个,定理20个,《中学数学》分别为14和15个.《数学》中三角形、三角形的角平分线、三角形的高线、三角形的中线、全等图形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角、直角三角形这些定义,《中学数学》都讲授了相关内容,但是很明显的,它淡化了概念的清晰定义,只要学生明白它们指的是什么就行,而并不需要用严谨的语言将之表达出来.笔者认为,关于这些定义,《数学》可以适当减少,适当“淡化概念”,教师只需作简单的讲解给学生,使学生掌握.
另外,《中学数学》在给出定义、定理前,先阐述了什么是定义、定理、辅助线、逆定理、举反例,让这些经常出现在数学中的名词更显专业化,让学生体会数学语言的严谨性,无形中也提高了数学这门学科的魅力.笔者认为,这点我国在编排教科书时值得借鉴.
2.4 习题比较
从“三角形”内容的广度和深度的比较看,《数学》和《中学数学》在课程广度、课程深度和课程时间上,有着较大的区别,反映在课程难度系数上也不一样.这种内容上的异同也反映在教科书的习题/中.
我们约定,题量按照小题的个数计算.这里统计的习题包括中日教科书中的所有的“例题”、“问”、“问题”、“习题”、“练习题”、“章末小节”以及以数学问题形式出现的“做一做”、“课内练习”和“作业题”. 据统计,《数学》中“三角形”内容共有习题250多道,《中学数学》共43道.这些题目所形成的教科书习题系统基本上反映了教科书对学生的要求,因此,我们也可以通过这些习题设置的综合难度来反映教科书的综合深度.《数学》的综合深度要高于《中学数学》.这也与日本的课程定位与理念有很大联系.日本在1998年的课程改革的总目标中提到通过宽松的教育活动,在切实打好基础知识的同时,充实发展个性教学.笔者认为,《数学》中大量的习题设置会给学习带来过重的负担,产生较大的压力.因此,是否能适当减少部分练习,值得我们商讨.
2.5 实物原型的使用比较
三角形反映了现实生活中的基本图形世界.《数学》在编排时,涉及的概念很多从现实的背景出发,结合具体图形,给出描述性的定义,让学生根据图形去理解.如全等的概念用三对完全相同的树叶、邮票、拼图板等来引导学生,通过观察、对比、与同伴交流,得出能够重合这种全等图形的本质属性;还从大量的实物原型,直观地展示了丰富多彩的图形世界中的奥妙.例如用三角架钢梁来说明三角形的稳定性;用历史上测量河宽的办法说明三角形全等的实际运用;工厂里测内槽宽的卡钳也是应用了三角形全等的原理等.
《数学》这样编排说明了三角形的学习是来源于实践,服务于实践.通过与现实图形的结合,使学生从大量有趣的素材中,认识、体验、理解三角形的性质,全等三角形的判定措施及运用.这种把结论放到具体的情景中,关系学生的生活经验和活动经验,既增加了学生的直观感受,提高了学生的学习兴趣,也使学生更好的理解和掌握原本是比较抽象的定理,并学会初步运用.
在这点上,《中学数学》有所欠缺.他更多的是利用三角形图象通过一问一答推导出定理,缺少了三角形与实际生活的关系.
《数学》的编排是符合我国2017年颁布的《全日制义务教学数学课程标准(实验稿)》的要求“利用有关的几何史料和社会主义建设成就,对学生进行思想教学”.而《中学数学》的编排主要是因为《中学数学学习指导要领》中不涉及通过学科教育渗透思想品德教学的内容,关于图形(几何)部分改善的具体要求是“为了使学生能够积极发现问题和解决问题,要重视论据清楚,论证合理的表达能力和逻辑思维能力的培养,特别是图形的证明”.因此,两国教科书在编排时产生了较大的异同.
2.6 动手操作比较
因为本块内容还没有出现公理体系,因此也不能从严格意义上证明命题.学生可以通过观察、归纳、类比等措施去体验,通过说理去验证命题,这其中必然有许多必须动手操作的过程.关于这一点,《数学》与《中学数学》有很多相似之处.比如《数学》八年级上册中,教科书第24页通过“合作学习”折纸的方式得出等腰三角形是轴对称图形的结论:
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC,画出它的顶角平分线(如图1),然后沿着AD所在的直线把△ABC对折(如图2),你发现了什么?由此,你得出什么结论?
《中学数学》也在第110页通过折纸的方式得出等腰三角形两底角相等的结论:
「二等/三角形の低角は等しい.」
このことは,これまで,/を折ったり,角度をはかったりして/べてきたが,どんな二等边三角形でも成り立つことを/明してみよう.
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