笔者近日在竞赛教学中遇到如下赛题:问题:(2017年越南国家数学奥林匹克竞赛试题)若a,b,c∈R/,求证:aa/b2 23/bb/c2 23/cc/a2 23≥38(*)在此本文将先给出对(*)式的证明,然后研讨与上述不等式及其类似的一道不等式:ab/c2 23/bc/a2 23/ca/b2 23≥38,(**)从而给出与著名不等式--Nesbitt不等式相关的一些猜想与证明,现与读者共享!一、问题的证明证明:注意到若x,y,z∈R/,xyz=1,则1(1/x)2/1(1/y)2/1(1/z)2≥34.事实上,不妨设xy≥1,z≤1,则1(1/x)2/1(1/y)2-11/xy=xy(x-y)2/(xy-1)2(1/x)2(1/y)2(1/xy)≥0,则1(1/x)2/1(1/y)2≥11/xy=zz/1,故1(1/x)2/1(1/y)2/1(1/z)2≥zz/1/1(1/z)2≥34,即知1(1/x)2/1(1/y)2/1(1/z)2≥34.下面我们来证明(*)式.由幂平均不等式知a3/b3/c3≥13%姨(a2/b2/c2)32,令x=ba,y=cb......(论文页数是：2页) [继续阅读本文] ，越语论文，越语论文 |
